Рулетка математикаси · Математик масала · 10 дақиқа

Масала: стол лимити

$500 лик столда $10 лик Мартингейл. У қанчалик тез-тез бузилади, бузилганда қанча йўқотади ва лимитни ошириш ёрдам берадими?

Қисқа жавоб

Кетма-кет олти ютқазиш уни бузади: ҳар циклда 1,8%, 100 айлантиришли сессияларнинг тахминан 60% и. Бузилиш $630 туради. Лимитни $5 000 га ошириш бузилишни камроқ (ҳар циклда 0,25%) ва каттароқ ($5 110) қилади. Тикилган ҳар бир долларга кутилган йўқотиш исталган лимитда 2,70%.

бошланғич / лимит

$10 / $500

бузилишгача ютқазишлар

ҳар циклда p(бузилиш)

1,8%

бузилишдаги йўқотиш

$630

Масала

Ўйинчи қизилставкаҚизил18 та қизил рақамга тенг пул ставкаси. Французчаси: rouge.Тўлиқ ўқиш →га $10 тикади ва ҳар ютқазишдан кейин ставкани икки баравар оширади, ютгандан кейин эса бошланғич ставкага қайтади. Стол максимуми $500. (а) Кетма-кет нечта ютқазиш ошириш тизимистратегияОшириш тизимиОлдинги натижаларга қараб тикилган суммани ўзгартирадиган ҳар қандай қоида. Салбий ошириш тизимлари ютқазишдан кейин, ижобийлари ютуқдан кейин оширади.Тўлиқ ўқиш →ни бузади? (б) Ҳар циклда эҳтимолликматематикаЭҳтимолликНатижа юз бериш имконияти, 0 дан 1 гача ёки 0% дан 100% гача. Битта рақам: 1/37 = 2,70%.Тўлиқ ўқиш → қанча? (в) Бузилишда қанча йўқотилади? (г) $5 000 лик лимит жавобларни қандай ўзгартиради? (д) Бирор лимит тизимни фойдали қиладими?

Рулетка столи лимитлари

(а)–(в) ечимлари

Ставкалар: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Еттинчиси 640 > 500 бўларди, шунинг учун олти ютқазиш уни бузади. (б) Қизилда p(ютқазиш) = 19/37; (19/37)⁶ = 0,0183, яъни ҳар циклда тахминан 1,8%. Цикл ўртача тахминан икки айлантириш давом этади, шунинг учун 100 айлантиришли сессияда тахминан 50 цикл бўлади ва p(камида битта бузилиш) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (в) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, бу 63 бошланғич бирликпулБирликТизим ёки ўйинчи асос қиладиган бошланғич ставка. Ошириш тизимлари исталган столда қўлланиши учун бирликларда тасвирланади.Тўлиқ ўқиш →, цикл ютмоқчи бўлган $10 га қарши.

лимитбузилишгача ютқазишларҳар циклда p(бузилиш)бузилишдаги йўқотишp(100 айлантиришда бузилиш)қоплаш учун керакли ютуқлар

$10046,95%$150≈ 97%15

$50061,8%$630≈ 60%63

$1 00070,94%$1 270≈ 38%127

$2 00080,48%$2 550≈ 22%255

$5 00090,25%$5 110≈ 11%511

$20 000110,07%$20 470≈ 3%2 047

Шифтни ҳар икки баравар ошириш бузилишни тахминан икки баравар кам эҳтимолли ва икки баравар қиммат қилади. Кўпайтма деярли ўзгармайди.

(г) ечими

$5 000 да: 2 560 гача ставкаларга рухсат берилади; ўнинчи ставка, 5 120, рад этилади. Тўққиз ютқазиш уни бузади: (19/37)⁹ ≈ ҳар циклда 0,25%, 100 айлантиришли сессияларнинг тахминан 11% и. Бузилишдаги йўқотиш: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Ўйинчи камроқ учрайдиган фалокатни каттароқ фалокат эвазига сотиб олган. Кўп сессиялар давомида бузилишларнинг кутилган нархи p × йўқотиш ≈ 0,0183 × 630 = $500 лик лимитда ҳар циклга $11,5 ва $5 000 да 0,0025 × 5 110 = $12,8; иккаласи яқин, лекин тенг эмас ва ҳар бири циклнинг кутилган йўқотишматематикаКутилган йўқотишКутилган қийматнинг жами тикилган миқдорга кўпайтмаси; сессия ёки даврда ўртача йўқотиладиган миқдор.Тўлиқ ўқиш →и билан ютган цикллар топадиган $10 нинг йиғиндисидир.

(д) ечими

Йўқ. Ҳар циклга кутилган йўқотиш = (циклдаги кутилган жами ставка) / 37, исталган лимитда, чунки ҳар бир ставка ўзининг −1/37 и. Лимит фақат йўқотиш кўплаб кичик ютуқлар ва камдан-кам катта йўқотишлар орасида қандай тақсимланишини ҳал қилади. Лимит бўлмаса ва ўйин бюджетипулЎйин бюджетиЎйинга ажратилган жами миқдор. Ўйин бюджетини бошқариш – унинг ҳар бир ставка ва сессияда қанчасини хавфга қўйишни белгилашдир.Тўлиқ ўқиш → чексиз бўлса, ошириш тизими “ишларди”, яъни ҳеч қачон бузилмасди, аммо у чексиз суммани ҳам тикарди ва кутилган йўқотиш ўша чексиз сумманинг 2,70% и бўларди. МартингейлстратегияМартингейлҲар бир ютқазишдан кейин ставкани икки баравар қиладиган ошириш тизими. Нима қилиши ва қилмаслиги учун Стратегия бўлимига қаранг.Тўлиқ ўқиш →нинг ишлашига стол лимитистолСтол лимитиРухсат этилган энг кам ва энг катта ставка. Энг катта лимит икки баравар ошириш тизимларини тўхтатади.Тўлиқ ўқиш → тўсқинлик қилмайди. Арифметика тўсқинлик қилади.

$10 бошланғичли Мартингейл, 100 айлантириш: лимит бўйича ўртача натижа (симуляция)$

$500 лик лимит

≈ −$75

$1 000 лик лимит

≈ −$75

$2 000 лик лимит

≈ −$72

$5 000 лик лимит

≈ −$70

бир хил $10, исталган лимит

$27

04080

Устунчалар йўқотиш ҳажмини кўрсатади. Лимитни ошириш ўртачани деярли силжитмайди; шифт қандай бўлмасин, ошириш тизими ҳар 100 айлантиришда тахминан $2 800 тикади.

Икки ҳақиқий стол

Торпнинг мисолида $1 лик, максимуми $1 000 бўлган стол бор; у ерда ўйинчи кечки овқат учун $30 ни бир доллардан ютишга умид қилади. 1, 2, 4 … 512 ставкалари ўнта ставкага имкон беради, шунинг учун кетма-кет ўн ютқазиш ошириш тизимини бузади: Европа ғилдирагида 785 циклда бир марта (Америка ғилдирагида 613 циклда бир марта), нархи $1 023. Ўттиз циклнинг ҳаммаси 96,2% ҳолларда муваффақиятли ўтади. Қолган 3,8% да тахминан $1 000 йўқотилади, кечанинг ўртача натижаси эса −$9,17, бу ўттиз цикл ўртача тикадиган $339 нинг айнан 1/37 и. Максимуми $2 000 бўлган $5 лик стол ҳам фарқ қилмайди: $1 280 гача ставкалар тўққизта ставкага имкон беради, бузилиш эса Европа ғилдирагида 403 циклда бир марта (Америка ғилдирагида 323 циклда бир марта) содир бўлади ва $2 555 туради.

Икки баравар оширилган ставкалар стол максимуми томон кўтарилади, кечки овқат эса қўшни хонада кутиб турибди.

Бой ўйинчи

Ошириш тизимига паст лимит ўрнига катта бюджет беринг: 1 000 бирлик, бир бирликли бошланғич ставка ва қизилга 1 000 айлантириш; кейинги икки баравар ставка қолган пулдан кўп бўлганда яна бир бирликдан бошланади. Биз бундай кечалардан бир миллионини симуляция қилдик. Европа ғилдирагида 52% и ютуқ билан тугайди, 21% и ҳаммасини йўқотади, ўртача натижа эса −124 бирлик. Ҳатто нолғилдиракНолҲеч бир тенг пул, ўн иккилик ёки устун ставка қопламайдиган ягона яшил катак; казино устунлигининг манбаи. Шунингдек: битта нол, 0.Тўлиқ ўқиш →сиз ўйинда ҳам, ҳар бир ставка адолатли бўлганда, фақат тахминан 60% и ютуқ билан тугарди. Одатий кеча – кичик ютуқ; ўртачани эса бюджет нолга тушиб тугайдиган кечалар тўлайди.

ғилдиракютуқ билан тугатади1 000 бирликни йўқотадиўртача натижа

нолсиз (адолатли ўйин)60%15%0

Европа52%21%−124 бирлик

Америка45%30%−250 бирлик

Бизнинг симуляциямиз, ҳар бир ғилдирак учун миллион кеча. Ўртачалар ошириш тизими 1 000 айлантиришда тикадиган сумманинг 1/37 ва 1/19 қисми: Европа ғилдирагида тахминан 4 600 бирлик, Америка ғилдирагида 4 750 бирлик.

Сабоқ

Казинолар лимитларни тизимларни енгиш учун эмас, ўз дисперсияматематикаДисперсияНатижалар кутилган қиймат атрофида қанчалик кенг тарқалишини ўлчайдиган миқдор. Битта рақамга ставкада юқори, тенг пул ставкаларда паст.Тўлиқ ўқиш →сини чеклаш учун белгилайди. Мартингейлни енгиш улар мамнуният билан қабул қиладиган қўшимча таъсир, арифметика эса уни барибир енгарди. Муаммо лимитда, деб ўйлайдиган ўйинчи жарликни топган-у, уни қиялик деб адаштирган.

Formula

p(бузилиш) = (19/37)ᵏ, k = лимит рухсат берган ютқазишлар сони

бузилишдаги йўқотиш = бошланғич · (2ᵏ − 1)

E[циклга йўқотиш] = E[циклдаги ставка] / 37

Саволлар

Каттароқ ўйин бюджети буни тузатадими?

У юқорироқ лимитгача омон қолишга имкон беради, у ерда бузилиш камроқ учрайди, лекин каттароқ бўлади. Ҳар долларга кутилган йўқотиш ўзгармайди.

Ҳар икки баравар оширишда бир бирлик қўшадиган “гранд Мартингейл”-чи?

Ставкалар 10, 30, 70, 150, 310: $500 лик лимитга беш ютқазишдан кейин етилади, бузилиш эса $570 туради. Худди ўша 2,70%.

Нега казиноларда умуман максимум бор?

Битта ўйинчи казино захираси бемалол тўлай оладиганидан кўп тика олмаслиги учун. Дисперсияни бошқариш.

Қизиқарли математика

Аввал ўзингиз ечиб кўринг. Ҳар бир ечим ёпиқ туради; тайёр бўлганингизда очинг.

МартингейлстратегияМартингейлҲар бир ютқазишдан кейин ставкани икки баравар қиладиган ошириш тизими. Нима қилиши ва қилмаслиги учун Стратегия бўлимига қаранг.Тўлиқ ўқиш → қизилставкаҚизил18 та қизил рақамга тенг пул ставкаси. Французчаси: rouge.Тўлиқ ўқиш →га $100 дан бошланади ва бир циклда кўпи билан n та ставкага рухсат беради: кетма-кет n та ютқазишдан кейин у воз кечади ва қайтадан бошлайди. Бир циклнинг ўртача натижасини n орқали формула сифатида ёзинг ва Европа ғилдирагида 5, 6 ва 7 ставка учун ҳисобланг.
Ечимни кўрсатиш
Жавоб Ўртача 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 ставка учун −$14,26, 6 учун −$17,35 ва 7 учун −$20,52. Кўпроқ ставкага рухсат бериш ўртача циклни яхшиламайди, балки ёмонлаштиради.
n та ставканинг ҳаммаси ютқазган ҳолатдан бошқа барча ҳолларда цикл $100 ютади; ҳаммасининг ютқазиш эҳтимоли qⁿ, бу ерда q = 19/37. Ҳаммаси ютқазганда 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ тикилган суммалар 100 × (2ⁿ − 1) га йиғилади. Демак, ўртача 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Бу ерда 2q = 38/37, 1 дан сал кўп, шунинг учун (2q)ⁿ n билан ўсади ва ўртача пасаяди: n = 5 да 1,1426 ва −$14,26; n = 6 да 1,1735 ва −$17,35; n = 7 да 1,2052 ва −$20,52. Узунроқ зинапоя камроқ ҳолларда ютқазади – циклларнинг 3,6%, 1,8% ва 0,9% ида – лекин ҳар бир ютқазиш икки баравар катта ва ҳар циклда стол устидан кўпроқ пул ўтади, ҳар бир ставкадан 2,70% билан.
Америка ғилдирагида 2q = 40/38 ва рақамлар −$29,24, −$36,04 ва −$43,20 (Тейлор, 2021). НолғилдиракНолҲеч бир тенг пул, ўн иккилик ёки устун ставка қопламайдиган ягона яшил катак; казино устунлигининг манбаи. Шунингдек: битта нол, 0.Тўлиқ ўқиш →сиз ўйинда 2q = 1 ва зинапоя қанчалик узун бўлмасин, ҳар бир цикл ўртача айнан нолга тенг.
“Гранд Мартингейл” ютқазишдан кейин тикилган суммани икки баравар оширади ва бир бирликпулБирликТизим ёки ўйинчи асос қиладиган бошланғич ставка. Ошириш тизимлари исталган столда қўлланиши учун бирликларда тасвирланади.Тўлиқ ўқиш → қўшади, шунинг учун ставкалар 1, 3, 7, 15, 31 … бўлади. Биринчи ютуқ 1-, 2-, 3- ёки k-ставкада келса, қанча фойдадасиз? $10 лик бирлик ва $500 максимумда цикл қанчалик тез-тез барбод бўлади ва бир цикл ўртача қанчага тушади?
Ечимни кўрсатиш
Жавоб k-ставкадаги ютуқ сизни k бирлик фойдада қолдиради: +1, +2, +3 ва ҳоказо. $10 ва $500 да цикл бешта ютқазишдан кейин барбод бўлади, циклларнинг 3,57% ида, −$570 билан. Ўртача цикл тикилган $85,73 дан $2,32 йўқотади: 2,70%.
k-ставкадаги тикилган сумма 2ᵏ − 1 бирлик: 1, 3, 7, 15, 31. Дастлабки k − 1 тикилган сумма 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 га йиғилади. k-ставкадаги ютуқ 2ᵏ − 1 тўлайди, демак цикл (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k бирлик фойда билан тугайди: ютуқдан олдинги ҳар бир ютқазиш учун битта қўшимча бирлик.
Бирлик $10 бўлганда тикилган суммалар $10, $30, $70, $150 ва $310; кейингиси, $630, $500 максимумдан ошади. Кетма-кет бешта ютқазиш, (19/37)⁵ = 3,57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 га тушади.
Ўртача: k = 1 дан 5 гача ютуқлар (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 эҳтимоллик билан $10 × k келтиради, барбод бўлиш эса 3,57% эҳтимоллик билан $570 олади; биргаликда −$2,32. Тикилган пул ўртача ҳар циклда $85,73 ва 2,32/85,73 = 2,70%. Худди шу столдаги оддий Мартингейл олтита ютқазишдан кейин, циклларнинг 1,83% ида, −$630 билан барбод бўлади ва тикилган $64,20 дан $1,74 йўқотади: яна 2,70%.
Ўйинчи лимити $1 000 бўлган столда қизилга биринчи ставкаси $1 бўлган Мартингейл режалаштиради, шунинг учун ўнта ставка мумкин: $1, $2, $4 ва ҳоказо $512 гача. Цикл қанчалик тез-тез ўнтасининг ҳаммасини ютқазади, бунга ўртача қанча вақт кетади ва 200 ставкали оқшом қанчалик тез-тез шундай тугайди?
Ечимни кўрсатиш
Жавоб Цикл ўнтасининг ҳаммасини тахминан 784 мартада бир марта ютқазади ва бу $1 023 га тушади. Бу ўртача тахминан 1 600 ставка ва 200 ставкали оқшом тахминан 11% ҳолларда деворга урилади. Цикл барибир тикилган $11,31 дан ўртача $0,31 йўқотади: 2,70%.
Қизилга ставка 19/37 эҳтимоллик билан ютқазади, нол ҳам шунга киради. Кетма-кет ўнта: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, тахминан 784 дан 1. 1 + 2 + 4 + … + 512 тикилган суммалар $1 023 га йиғилади.
Цикл ўртача 2,05 ставка давом этади, демак 784 цикл тахминан 1 600 ставка олади. Айлантиришларни бирма-бир ҳисоблаганда, кетма-кет ўнта ютқазиш 200 ставка ичида бирор жойда 11,3% ҳолларда учрайди.
Офатлар орасида ўйинчи ҳар циклда $1 ютади: ёмон циклдан олдин тахминан $783, кейин −$1 023, бутун давр бўйича тахминан −$240. Бир циклга: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Бир циклда тикилган пул: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Ва −0,31/11,31 = −2,70%.
Таққосланг: $500 лимитда $10 лик биринчи ставка, олтита ставка: девор 55 циклда бир марта келади ва 200 ставкали оқшом унга 84% ҳолларда урилади. Юқорироқ лимит қулашни камёброқ ва каттароқ қилади, арзонроқ эмас.

Бироз ҳазил

Ҳар қандай лимитда камроқ ва каттароқ. Кўпайтма ўзгармас.

Манбалар

Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13-боб, рулетка.
Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.” Review of the International Statistical Institute 37(3), 1969.
Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart, 1984.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.

текширилган сана: 2026-09-28модель: Европа, битта нолметодология ↗манбалар ↗