Рулетка математикаси · Амалий · 13 дақиқа

Бутунлай ютқазиш хавфи

Q: Ошириш тизими бутунлай ютқазиш хавфини камайтирадими?

Мартингейл уни қисқа сессияларда камайтиради, узун сессияларда эса кескин оширади. Уни камайтиришнинг ҳалол йўли – каттароқ бирлик билан бир хил ставка қўйиш.

Мақсадга етишдан олдин бутун ўйин бюджетингизни йўқотиш эҳтимоллиги.

Қисқа жавоб

Тенг пул ставкалари учун бутунлай ютқазиш хавфи қиморбознинг емирилиши формуласига бўйсунади. $500 ўйин бюджети, $10 лик ставкалар ва $600 мақсад билан сиз ҳолларнинг тахминан 57% ида мақсадга етасиз, қолганида эса ҳаммасини ютқазасиз.

формула

қиморбознинг емирилиши

p (тенг пул)

18/37

q/p

1,0556

энг қадимги натижа

Паскаль–Ферма, 1656

Савол

Сизда a бирликпулБирликТизим ёки ўйинчи асос қиладиган бошланғич ставка. Ошириш тизимлари исталган столда қўлланиши учун бирликларда тасвирланади.Тўлиқ ўқиш → ўйин бюджетипулЎйин бюджетиЎйинга ажратилган жами миқдор. Ўйин бюджетини бошқариш – унинг ҳар бир ставка ва сессияда қанчасини хавфга қўйишни белгилашдир.Тўлиқ ўқиш → бор ва ҳар сафар бир бирликдан ютиш эҳтимоллигиматематикаЭҳтимолликНатижа юз бериш имконияти, 0 дан 1 гача ёки 0% дан 100% гача. Битта рақам: 1/37 = 2,70%.Тўлиқ ўқиш → p = 18/37, ютқазиш эҳтимоллиги q = 19/37 бўлган тенг пул ставкасиставкаТенг пул ставкасиҚизил/қора, тоқ/жуфт, юқори/паст. 18 та рақам, 1:1 тўлайди.Тўлиқ ўқиш →га тикиб, a + b бирликка етмоқчисиз. Нолга тушишдан олдин мақсадга етиш имконияти қанча? Жавобни 1650-йилларда Паскаль, Ферма ва Гюйгенс топган ва бу эҳтимолликлар назариясидаги энг қадимги натижалардан бири.

Блез Паскаль: рулетка ғилдираги афсонаси

Қиморбознинг емирилиши формуласи

P(мақсадга етиш) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Бутунлай ютқазиш хавфиматематикаБутунлай ютқазиш хавфиМақсадга ёки белгиланган айлантириш сонига етишдан олдин бутун ўйин бюджетини йўқотиш эҳтимоли.Тўлиқ ўқиш → – бирдан шуни айирганига тенг. q/p = 19/18 ≈ 1,0556 бўлганда нисбат бирликлар сонига қараб экспоненциал ўсади, шунинг учун формула кичик бирликларни қаттиқ жазолайди: мақсадга етиш учун қанча кўп ставка керак бўлса, йўлда 2,70% лик “бож” шунча кўп марта тўланади.

ўйин бюджетибирликмақсадмақсадгача ставкаларp(мақсадга етиш)бутунлай ютқазиш хавфи

$500$10$60010≈ 57%≈ 43%

$500$50$6002≈ 79%≈ 21%

$500$10$1 00050≈ 6%≈ 94%

$500$100$1 0005≈ 43%≈ 57%

$500$500$1 000148,6%51,4%

$100$10$20010≈ 37%≈ 63%

Тенг пул ставкалари, бир хил ставка, la partage йўқ. Бутунлай ютқазиш хавфи калькулятори исталган сонлар учун ҳисоб-китобни бажаради.

Уни ўқиш

Кичик бирликлар зарар келтиради. $500 ни $10 лик ставкалар билан икки баробарга оширишга уриниш ҳолларнинг 6% ида муваффақиятли бўлади; битта $500 лик ставка билан эса 48,6% ида. Дадил ўйин – камроқ ва каттароқ ставкалар – манфий кутилмали ўйинда мақсадга эришиш имкониятини максимал қилади, чунки устунлик қўлланиладиган маротабалар сонини минимал қилади. У сизга нима бўлишининг дисперсияматематикаДисперсияНатижалар кутилган қиймат атрофида қанчалик кенг тарқалишини ўлчайдиган миқдор. Битта рақамга ставкада юқори, тенг пул ставкаларда паст.Тўлиқ ўқиш →сини ҳам максимал қилади ва оқшомни тез тугатади. Бу теорема “дадил ўйин оптимал” деб аталади ва уни 1965-йилда Дубинс ва Сэвидж исботлаган.

Қизилда $500 ни $1 000 га айлантириш имконияти%

битта $500 лик ставка

48,6%

$100 лик ставкалар

≈ 43%

$50 лик ставкалар

≈ 37%

$20 лик ставкалар

≈ 21%

$10 лик ставкалар

≈ 6%

$5 лик ставкалар

≈ 0,5%

024,3048,6%

Қанча кўп ставка керак бўлса, устунлик шунча кўп тўланади. Эҳтиёткор ўйин қимматга тушади.

Масала қаердан бошланган

Бу савол рулеткадан ҳам қадимийроқ. 1656-йилда Паскаль Фермага жумбоқ таклиф қилди: икки ўйинчи учта зар ташлайди, ҳар бири 12 та ҳисоб тоши билан бошлайди; 11 тушса, битта тош бир томонга, 14 тушса, бошқа томонга ўтади. Иккаласи ҳам уни ечди, бу ҳақда математик Пьер де Каркавининг мактуби орқали эшитган Гюйгенс эса уни 1657-йилда эҳтимолликлар ҳақидаги биринчи китобнинг бешинчи масаласи сифатида жавоби билан, аммо исботсиз чоп этди. Ўн бирни 27 хил, ўн тўртни эса фақат 15 хил ташлаш мумкин, шунинг учун ҳар бир тош 14 ҳолдан 9 тасида биринчи ўйинчи томонга ўтади ва юқоридаги формула ҳар бирида 12 тадан тош бўлганда унинг ҳаммасини ютиб олиши ҳаммасини ютқазишидан тахминан 1 157 баробар эҳтимоллироқ эканини кўрсатади. 2,70% лик устунлик анча кичик, лекин худди шу формула у кўп ставкалар давомида нима қилишини кўрсатади.

Паскаль жумбоғида учта зарнинг ҳар бир ташланиши ўйинчилар орасида битта тошни силжитади.

Ҳақиқий дадил ставка

2004-йил апрелида ёш англиялик Эшли Ревелл бор-будини, жумладан кийимларини ҳам сотиб, $135 300 ни Лас-Вегасдаги Plaza казиносига олиб борди. Бир неча кичик ставкадан кейин у бутун суммани бир марта қизилставкаҚизил18 та қизил рақамга тенг пул ставкаси. Французчаси: rouge.Тўлиқ ўқиш →га тикди. ШарчажиҳозШарчаРотор йўналишига қарши йўл бўйлаб отиб юбориладиган кичик шар. Замонавий шарчалар иворин ёки тефлондан бўлиб, 18–21 мм.Тўлиқ ўқиш → қизил 7 га тушди ва у $270 600 билан чиқиб кетди. Қўш нолғилдиракНолҲеч бир тенг пул, ўн иккилик ёки устун ставка қопламайдиган ягона яшил катак; казино устунлигининг манбаи. Шунингдек: битта нол, 0.Тўлиқ ўқиш →ли ғилдиракда ўша ягона айлантириш 47,37% имконият эди ва унга ўртача $7 121 га тушди – битта ставкадаги 5,26% лик устунлик. $10 лик ставкаларга тақсимланганда худди шу мақсад деярли умидсиз бўларди. Дадил ўйин ставкани яхши қилмайди; уни имкон қадар қисқа қилади.

Эшли Ревеллнинг бутун ўйин бюджети қўш нолли ғилдиракнинг битта айлантиришига тикилган.

Мақсадсиз бутунлай ютқазиш хавфи

Агар сиз шунчаки ҳаммасини ютқазгунча ўйнасангиз ёки N та айлантиришдан кейин тўхтасангиз, савол “ўйин бюджетим N та айлантириш ичида нолга тегиши имконияти қанча?” деган кўринишга келади. Умумий N учун ёпиқ формула йўқ, лекин бу сайтдаги симуляторлар уни ҳисоблайди: қизилга $10 дан тикилган $500 лик ўйин бюджети 100 айлантиришда деярли ҳеч қачон тугамайди (1% дан кам), 500 айлантиришда ҳолларнинг тахминан 9% ида, 5 000 айлантиришда эса тахминан 95% ида тугайди. Тўхташ қоидаси бўлмаса, эҳтимоллик 100% га интилади, бу эса казино устунлигиматематикаКазино устунлигиКазино ўртача ҳар бир тикилган суммадан ушлаб қоладиган улуш: Европа рулеткасида 2,70%.Тўлиқ ўқиш →нинг узоқ муддатли кўринишидир.

Ўнта сессия, $500 ўйин бюджети, қизилга $25, 200 айлантиришбошланишга нисбатан натижа

1 000 сессия × 500 айлантириш · бинафша p10/p25/p75/p90, оч кўк медиана, 81 хира намуна · бирор айлантиришдаги квантилларни кўриш учун график устида юринг

p10 −$500
p25 −$500
медиана −$500
p75 +$0
p90 +$350

1 000 сессия × 500 айлантириш · y ўқи 1–99-процентилгача қирқилган (чекка қийматлар −$500 дан +$1 500 гача) · 500 айлантириш · бошланғич $25 · тенг пул

Пастки чегарага теккан чизиқлар бутунлай ютқазган. Кичикроқ бирлик билан улар узоқроқ давом этиб, ўша жойда тугаган бўларди.

Узоқ муддатли яқинлашув: рулеткада катта сонлар қонуни

Қанча давом этади ва қанчалик олдинга чиқилади

Яна иккита классик натижа ўйинчилар ҳақиқатан берадиган саволларга жавоб беради. Мақсад бўлмаса, бир хил тенг пул ставкалари Европа ғилдирагида ўйин бюджетининг ҳар бир бирлиги учун ўртача 37 айлантириш, Америка ғилдирагида эса 19 айлантириш давом этади, чунки ҳар бир айлантириш ўртача бирликнинг 1/37 қисмини (Америка ғилдирагида 1/19 қисмини) олади: 100 бирлик ўртача 3 700 айлантиришга етади, гарчи бундай сессияларнинг ярми 3 134 айлантириш ичида тугаса ҳам (Сессия давомийлиги ва нархи саҳифасига қаранг). Ўйин бюджети қанчалик катта бўлмасин, Европа ғилдирагида қачондир k бирлик фойдага чиқиш имконияти (18/19)ᵏ. Бу бир бирлик учун 95%, ўн бирлик учун 58%, лекин ўйин бюджети қанчалик катта бўлмасин, қачондир 13 бирлик фойдага чиқиш учун тенг имконият бермайди; Америка ғилдирагида имконият (9/10)ᵏ ва 7 бирликда ярмидан пастга тушади.

исталган пайтда фойдадаги бирликларЕвропаАмерика

194,7%90,0%

576,3%59,0%

1058,2%34,9%

1349,5%25,4%

2033,9%12,2%

506,7%0,5%

1000,45%0,003%

Тенг пул ставкалари, бир хил ставка, ҳеч қачон тугамайдиган даражада катта ўйин бюджети. Имконият битта нолли ғилдиракда (18/19)ᵏ, қўш нолли ғилдиракда (9/10)ᵏ.

Сессия давомийлиги ва нархи Америка рулетка ғилдираги ва қоидалари

Тенг имконият учун ўйин бюджети

Саволни тескари қўйинг: ҳаммасини ютқазишдан олдин муайян суммани ютиш учун камида тенг имкониятга эга бўлиш учун қанча пул олиб келишингиз керак? Кичик ютуқ учун кўп эмас. Каттароқ ютуқ учун керакли ўйин бюджети кескин ошади, маълум нуқтадан кейин эса ҳеч қандай ўйин бюджети етмайди, чунки ҳатто чексиз бюджет ҳам шунча фойдага чиқиш учун тенг имкониятдан камроқ беради. Тейлор (2021) буни бошқача ифодалайди: Америка ғилдирагида 100 бирликка етиш учун тенг имкониятга эга бўлиш учун 94 бирлик билан бошлашингиз керак, яъни 6 ни ютиш учун 94 ни хавф остига қўясиз. Европа ғилдирагида 88 керак бўларди.

ютиш учунЕвропаАмерика

1 бирлик22

2 бирлик33

3 бирлик45

4 бирлик68

5 бирлик712

6 бирлик921

7 бирлик12ҳеч қандай бюджет етмайди

8 бирлик15ҳеч қандай бюджет етмайди

10 бирлик24ҳеч қандай бюджет етмайди

12 бирлик46ҳеч қандай бюджет етмайди

13 бирлик ёки ундан кўпҳеч қандай бюджет етмайдиҳеч қандай бюджет етмайди

Бир хил тенг пул ставкалари билан ўйин бюджетини йўқотишдан олдин шу суммани ютиш учун камида тенг имконият берадиган энг кичик ўйин бюджети, бирликларда. Юқоридаги формула асосида ўзимиз ҳисоблаганмиз.

Амалий сабоқ

Нимага эришмоқчи эканингизни ҳал қилинг. Мақсад муайян ютуқ бўлса, кам ва катта тикинг. Мақсад узоқ оқшом бўлса, кичик тикинг ва устунлик катта айланмапулАйланмаСессия ёки даврда тикилган жами миқдор, қайта тикилган ютуқларни ҳам ҳисоблайди. Шунингдек: handle, action.Тўлиқ ўқиш →нинг 2,70% ини олишини қабул қилинг. Мақсад иккаласи бўлса, нимадандир воз кечишга тўғри келади ва одатда бу мақсад бўлади.

Formula

P(мақсад) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)

бутунлай ютқазиш хавфи = 1 − P(мақсад)

тенг пул учун q/p = 19/18

мақсадсиз, бутунлай ютқазишгача ўртача айлантиришлар = 37 × бирликлар

P(қачондир k бирлик фойдада) = (18/19)ᵏ

Саволлар

Ошириш тизими бутунлай ютқазиш хавфини камайтирадими?

МартингейлстратегияМартингейлҲар бир ютқазишдан кейин ставкани икки баравар қиладиган ошириш тизими. Нима қилиши ва қилмаслиги учун Стратегия бўлимига қаранг.Тўлиқ ўқиш → уни қисқа сессияларда камайтиради, узун сессияларда эса кескин оширади. Уни камайтиришнинг ҳалол йўли – каттароқ бирлик билан бир хил ставка қўйишстратегияБир хил ставка қўйишҲар айлантиришда бир хил миқдорга ставка қўйиш. Ҳар бир ошириш тизими таққосланадиган асос.Тўлиқ ўқиш →.

Битта рақамга ставкалар-чи?

Юқоридаги формула тенг пул учун. Юқори дисперсияли ставкаларда кичик суммаларда бутунлай ютқазиш эҳтимоллироқ ва мақсадга нотекисроқ етилади; калькулятордан фойдаланинг.

Нега q/p асосий катталик?

Мақсад томон ҳар бир қадам бутунлай ютқазиш томон ҳар бир қадамдан бироз камроқ эҳтимолли; нисбат қадамлар сони бўйича жамланиб боради.

Қизиқарли математика

Аввал ўзингиз ечиб кўринг. Ҳар бир ечим ёпиқ туради; тайёр бўлганингизда очинг.

Сизда $100 бор ва $1 000 га етмоқчисиз, фақат қизилставкаҚизил18 та қизил рақамга тенг пул ставкаси. Французчаси: rouge.Тўлиқ ўқиш →га тикасиз. Биринчи режа: ҳар сафар $1 тикинг. Иккинчи режа: $500 дан ошгунча бор пулингизни тикинг, кейин $1 000 га етиш учун етарлича тикинг. Қайси режа яхшироқ ва қанчалик?
Ечимни кўрсатиш
Жавоб Иккинчи режа, катта фарқ билан. У тахминан 9,0% ҳолларда $1 000 га етади, бу адолатли 10% га яқин. Биринчи режа 10²² уринишдан тахминан 7 тасида муваффақиятга эришади.
Адолатли ўйинматематикаАдолатли ўйинҲеч бир томонда устунлик бўлмайдиган ўйин: ҳар бир ставканинг кутилган қиймати нол.Тўлиқ ўқиш →да нима қилсангиз ҳам, $100 дан $1 000 га ўн ҳолатдан бирида етар эдингиз, чунки пулингизнинг ўртача қиймати $100 да қолади.
Казино устунлиги ҳар бир ставканинг 2,70% ини олади, шунинг учун жами қанча кам тиксангиз, ўндан бирга шунча яқин қоласиз. Иккинчи режа масалани бир нечта ставкада ҳал қилади: $100 $200, $400, $800 га айланади, кейин $200 етарли. У тахминан 9,0% ҳолларда муваффақиятли бўлади. Биринчи режада юриш тугагунча минглаб ставка қўйилади ва ҳар бирида кичик бўлган устунлик қўшилиб, деярли муқаррар бутунлай ютқазишга олиб келади.
Бу Дубинс–Сэвидж натижасининг энг оддий шакли (Эпштейн, 2013): казино фойдасига бўлган ўйинда кераклигича катта, иложи борича кам марта тикинг.
Сизда $500 бор ва $1 000 га етмоқчисиз, унга етишингиз билан тўхтайсиз. Сиз бир турдаги ставкани танлайсиз ва у бир марта ютгунча ёки пул тугагунча такрорлайсиз. Қайси тур энг яхши имконият беради?
Ечимни кўрсатиш
Жавоб Қизилга битта $500 лик ставка: 48,6%. Пулни кичикроқ ставкаларга тақсимлайдиган ҳар қандай режа ёмонроқ натижа беради.
Ҳар бир тикилган суммани битта ютуқ етадиган қилиб танланг: битта рақамга ставкаставкаБитта рақамга ставкаБитта рақам, 35:1 тўлайди.Тўлиқ ўқиш →га $30 $1 050 ютади, бўлинган ставкаставкаБўлинган ставкаИкки қўшни рақам, 17:1 тўлайди.Тўлиқ ўқиш →га $60 $1 020 ютади ва ҳоказо. Кейин пул тугашидан олдин камида битта ставка ютиш эҳтимолини ҳисобланг. Битта рақамга ўн олтита $30 лик ставканинг ҳаммаси (36/37)¹⁶ = 64,5% эҳтимоллик билан ютқазади, демак улар 35,5% ҳолларда $1 000 га етади.
Жадвалда ҳар бир ставка кўрсатилган. Қизил энг яхши натижа беради, чунки у мақсадга битта ставкада етади, шунинг учун устунлик бир марта, $500 дан тўланади. Олти қаторставкаОлти қаторИкки қўшни қатордаги олти рақам, 5:1 тўлайди. Французчаси: sixain.Тўлиқ ўқиш → иккинчи ўринда, чунки унга фақат учта ставка керак. Битта ўн иккиликставкаЎн иккилик1–12, 13–24 ёки 25–36, 2:1 тўлайди.Тўлиқ ўқиш → ставкаси энг ёмони, 12/37 имконият; ҳатто $1 000 ёки ундан кўпга етгунча $250 лик бирликпулБирликТизим ёки ўйинчи асос қиладиган бошланғич ставка. Ошириш тизимлари исталган столда қўлланиши учун бирликларда тасвирланади.Тўлиқ ўқиш →ларда ўйналганда ҳам ўн иккилик фақат 46,4% ҳолларда мақсадга етади.
Боллман (2024) худди шу жадвални Америка ғилдираги учун тузади. Унинг ўн иккилик қаторида хато бор: у 12/38 = 31,6% бўлиши керак.
ставкатикилган сумма × ставкалар сони$1 000 га етиш эҳтимоли
Битта рақамга ставка$30 × 1635,5%
Бўлинган ставка$60 × 835,9%
Кўча ставкаси$90 × 534,5%
Бурчак$125 × 436,7%
Олти қатор$166, $166, $16841,2%
Ўн иккилик$500 × 132,4%
Қизил$500 × 148,6%
Сиз ҳеч қачон тугамайдиган ўйин бюджетипулЎйин бюджетиЎйинга ажратилган жами миқдор. Ўйин бюджетини бошқариш – унинг ҳар бир ставка ва сессияда қанчасини хавфга қўйишни белгилашдир.Тўлиқ ўқиш → билан айлантиришдан-айлантиришга қизилга бир бирлик тикасиз. Биринчи айлантиришдан кейин сиз бир бирлик ютуқда ёки бир бирлик зарарда бўласиз. Қачондир яна айнан тенг ҳолатга қайтиш эҳтимоли қанча?
Ечимни кўрсатиш
Жавоб 37 дан 36, 97,3%. Америка ғилдирагида 38 дан 36, 94,7%.
Агар биринчи айлантириш ютса (37 дан 18 марта), сиз бир бирлик ютуқдасиз ва казино устунлиги ҳар қандай чексиз сессияни пастга тортади, шунинг учун эртами-кечми тенг ҳолатдан яна ўтасиз: бу муқаррар. Агар ютқазса (37 дан 19 марта), сиз бир бирлик кўтарилишингиз керак ва қачондир бир бирлик олдинда бўлиш эҳтимоли 18/19 (юқоридаги жадвалга қаранг).
Биргаликда: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Умуман олганда, бу эҳтимоллик 1 дан бир айлантиришни ютиш ва ютқазиш эҳтимолликлари орасидаги фарқни айирганига тенг: Европа ғилдирагида 1 − 1/37, Америка ғилдирагида 1 − 2/38. НолғилдиракНолҲеч бир тенг пул, ўн иккилик ёки устун ставка қопламайдиган ягона яшил катак; казино устунлигининг манбаи. Шунингдек: битта нол, 0.Тўлиқ ўқиш →сиз ўйинда фарқ йўқ ва эҳтимоллик 1: ҳисоб ҳар доим тенгликка қайтади. Эпштейн (2013) умумий қоидани беради.
Паскальнинг 1656-йилги жумбоғи: икки ўйинчи учта зар ташлайди, ҳар бири 12 та ҳисоб тоши билан бошлайди. Ҳар сафар 11 тушганда битта тош биринчи ўйинчига, 14 тушганда эса битта тош иккинчисига ўтади; бошқа ташлашлар ҳисобга олинмайди. Биринчи ўйинчининг 24 тасининг ҳаммасини ютиб олиш эҳтимоли қанча? Агар бунинг ўрнига банк вазифасини бажарадиган дўстингизга қарши ҳар айлантиришда қизилга 1 бирлик тиксангиз, ҳар бирингизда 12 бирликдан, 24 тасининг ҳаммасини ютиб олиш эҳтимолингиз қанча?
Ечимни кўрсатиш
Жавоб Биринчи ўйинчи тахминан 1 158 мартадан 1 157 марта ютади. Сиз эса қизилда 24 бирликнинг ҳаммасини фақат тахминан 34% ҳолларда ютасиз.
Учта зар 11 ни 27 усулда, 14 ни 15 усулда ҳосил қилади, шунинг учун ўтадиган ҳар бир тош 42 дан 27 марта, яъни 14 дан 9 марта биринчи ўйинчига ўтади. Ҳар бир томон 12 дан бошлаганда ҳаммасини олиш эҳтимоли 1/(1 + r¹²), бу ерда r – қарши томон имкониятининг сизникига нисбати.
Биринчи ўйинчи учун r = 5/9 ва (5/9)¹² ≈ 0,00086, демак эҳтимоллик тахминан 0,99914: имкониятлар нисбати 9¹² га 5¹², яъни 282 429 536 481 га 244 140 625, тахминан 1 157 га 1. Гюйгенс 1657-йилда айнан шу сонларни чоп этган.
Қизилда нол туфайли r = 19/18 ва (19/18)¹² ≈ 1,913: сизнинг имкониятингиз 1/2,913 ≈ 34,3%. Танга 50% берар эди. Ҳар бир ставкадаги 2,70% лик казино устунлиги керак бўладиган кўплаб ставкалар давомида қўшилиб, 16 пунктлик фарққа айланади.

Бироз ҳазил

$Дадил ўйин оптимал. У тез тугайди ҳам.$

Дадил ўйин оптимал. У тез тугайди ҳам.

Манбалар

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, 3-нашр, 1968. Қиморбознинг емирилиши, XIV боб.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
Carcavi, P. de. Гюйгенсга мактуб, 1656-йил 28-сентябрь, Паскаль Фермага таклиф қилган масала ҳақида. Œuvres complètes de Christiaan Huygens, 1-жилд, 1888, 492–494-бетлар.
Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae. 1657. Кутилманинг илк босма баёни.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. 13-боб, рулетка.
Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.” 2004-йил апрель.
Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.” 2004-йил 12-апрель.

текширилган сана: 2026-09-28модель: Европа, битта нолметодология ↗манбалар ↗